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[Enigme] Que d'eau, que d'eau !

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(reprise du message précédent)

Felipe a écrit :

Je ne révélerai pas ici ce que Raphael faisait pendant ses cours de maths (parce que je faisais la même chose à savoir autre chose Smiley rolleyes ) mais son raisonnement est juste. Il m'avait d'ailleurs bien fait cogiter à l'époque où il m'avait posé le problème!


Le raisonnement est juste mais le calcul est faux.

Le calcul tombe dans le piège du raisonnement !

Le poids de la matière sèche n'est pas de 5 kg au départ !
Felipe a écrit :

La formule est fausse, l'énoncé affirme que MS = P(avant) * 0,01 et que P(avant) = 500 kg
Vu que P(avant) = MS + eau
eau = P(avant) - 0,01 * P(avant)
eau = 0,99 * P(avant)

La formule devient donc:
P(avant) = MS + eau
P(avant) = MS + 0,99 * P(avant)


Non !

Sinon,

P(après) = MS + eau
P(après) = MS + 0.98 * P(quoi d'abord !)

Ce qui est vrai dans un sens, est vrai dans l'autre ... il faut suivre la même logique jusqu'au bout !

P = Poids de matière sèche + Poids du % en eau de matière seche

soit le taux = valeur du % (99% : taux = 0.99)

donc

P = Poids de matière sèche + taux * Poids de matière sèche

donc

P = Poids de la matière sèche (1 + taux)

donc

Poids de la matière sèche = P/(1 + taux)

si taux = 0.99, soit le taux avant

Poids de la Matière sèche = poids avant/1.99 = 500/1.99 = 251.26

Nous avons donc claculer le poids de la matière sèche

Et, effectivement : Poids de la matière sèche avant = poids de la matière sèche après

Notre inconnue maintenant : le poids après

Donc :

si taux = 0.98, soit le taux après :

Poids après = Masse sèche + Masse sèche * 0.98

Poids après = Masse sèche * 1.98

Poids après = 256.26 * 1.98


Résultat : 497.50 Kg


Non mais !

Reculez d'un pas :

Non seulement c'est logique mais c'est perceptible

Imaginez tout simplement votre concombre de 500 kg ne présentant que 5 kg de matière !

Soit 5 Kg de concombre et 495 l d'eau

Car 1kg d'eau = 1 L

De quoi remplir un bel aquarium !
Administrateur
Vero a écrit :


Non !

Sinon,

P(après) = MS + eau
P(après) = MS + 0.98 * P(quoi d'abord !)

P(après) = MS + 0,98 * P(après) tout simplement. La même chose (EDIT: le même indice entre parenthèses) à gauche et à droite.

EDITbis: je suis chimiste, alors Ca.Va = Cb.Vb, M=m/n=N/Na=C.V/Na, les %ages volumiques, les moles en masse, volume ou fraction, les mélanges fractionnaires eau/éthanol (sujet de thèse de Mendeleiev! Quel heureux homme Smiley biggol ) je pratique Smiley cligne

Vero a écrit :
P = Poids de matière sèche + Poids du % en eau de matière seche

Gnii? De l'eau de matière sèche, je sais pas ce que c'est. Smiley confused (en tout cas, il y a 0% d'eau dans la matière sèche Smiley ravi )

15% de MG, c'est quand 100g de produit comportent 15g de MG et 85g d'autre chose. Pas qqchA = 15 + 0,85*qqchB super compliqué ...


Comme j'aime m'amuser, saviez-vous qu'une pente de 100% présente un angle de 45°? Smiley rolleyes (s'arrache les derners cheveux qui lui restent)
Modifié par Felipe (18 Apr 2005 - 00:25)
Administrateur
Bon reprenons les choses plus simplement:

j'ai un aliment, je veux savoir quelle proportion d'eau il y a dedans. (et mon aliment, c'est ce que je mange, pas le truc informe séché. Un être humain sans le sang, le liquide des cellules, etc c'est plus un être humain, c'est une momie désséchée)

Je le sèche à 180° (eaux minérales, c'est marqué sur l'étiquette enfin Volvic en tout cas) à l'étuve jusqu'à ce que le poids et donc la masse sur la balance ne diminue plus.

S'il me reste 20g de truc informe, il y a proportion de 20/100 d'extrait sec et comme il s'est évaporé 80g d'eau, proportion de 80/100 d'eau soit 80%.
Certainement pas 20/80 ...
Modifié par Felipe (18 Apr 2005 - 00:33)
Felipe a écrit :

P(après) = MS + 0,98 * P(après) tout simplement. La même chose (EDIT: le même indice entre parenthèses) à gauche et à droite.



Quel est le poids total après ?

Il faut bien calculer le poids de la matière sèche pour le trouver ce poids total d'après.

Isoler ce poids de matière sèche du poids correspondant à l'eau (lui même calculé en fonction du poids de matière sèche)


Il est de combien ce poids de matière sèche ?

Tu peux faire le calcul et donner les résultats, stp ?

Allez, 2 lignes :

Poids de matière sèche :

(pour moi il est égal à 251.26 kg)

Poids total après :

(pour moi, il est de 497.50 kg)
Modifié par Vero (18 Apr 2005 - 02:21)
Administrateur
Non, tout est rapporté au poids total du légume.
Le poids total avant pour les 1+99% = 500kg
Le poids total après pour les 2+98% = cequelondoittrouver

Avec comme point commun entre les 2 que la masse des 1% avant est égale à la masse des 2% après. Rien d'autre à considérer.
Si je peux me permettre d'intervenir dans ce débat passionné... en prenant ma casquette de prof de maths et de physique (oui, je sais, j'ai beaucoup de casquettes. Et d'ailleurs, je ne bronze que très peu Smiley lol ), et en usant par conséquent d'un argument d'autorité: je suis entièrement d'accord avec Raphaël. Poids final, 250kg.

Voici mon calcul:
soit P0 la masse du concombre le soir, s la masse de matière sèche, e0 la masse d'eau le soir, P1 la masse du concombre le matin, e1 la masse d'eau le matin.
On a
P0=s+e0
et
P1=s+e1

On sait d'après l'énoncé que e0 représente 99% de P0. On en déduit e0/P0=0,99.
D'autre part, e1 représente 98% de P1. Par conséquent, e1/P1=0,98.

On remplace donc dans les équations précédentes. On obtient:
P0=s+P0*0,99
P1=s+P1*0,98.
On soutrait membre à membre ces deux égalités pour éliminer s:
P0-P1=P0*0,99-P1*0,98.

On en tire:
0,01*P0=0,02*P1
Soit encore:
P1=P0/2

Et donc numériquement
P1=500/2=250kg.

C'est un classique Smiley smile , et en tant que prof de sciences, je vous assure que le raisonnement est tout à fait valide.

Accessoirement d'ailleurs, on se rend compte que contrairement à ce que pense Vero, on n'a pas besoin de calculer la masse de matière sèche pour obtenir le résultat. Oui, je sais, tout cela peut paraître contre-intuitif, mais c'est pourtant comme cela que ça se passe, selon les termes de l'énoncé.
Modifié par Gilles (18 Apr 2005 - 09:41)
Gilles a écrit :

Accessoirement d'ailleurs, on se rend compte que contrairement à ce que pense Vero, on n'a pas besoin de calculer la masse de matière sèche pour obtenir le résultat. Oui, je sais, tout cela peut paraître contre-intuitif, mais c'est pourtant comme cela que ça se passe, selon les termes de l'énoncé.


Oui, selon les termes de l'énoncé, on peut tomber dans le piège suivant :

- Considérer la teneur en eau par rapport au poids total : dans ce cas, je suis d'accord avec l'approche mathématiques (je ne suis pas prof et très moyenne en maths, mais je ne suis pas neuneu !)
Smiley fache

Or la définition de la teneur en eau est la suivante :

Poids de phase liquide / Poids de la phase solide (je ne suis plus chimiste depuis longtemps, mais je sais encore ouvrir un dictionnaire !)


La définition exacte étant : Masse de la phase liquide/Masse de la phase solide

Mais comme p=mg (merci Felipe pour ce rappel, on a failli oublié !) , la notion de masse ou de poids n'a pas d'importance ici !

Donc, dire que la partie solide du concombre au départ est de 5kg (soit 1% du poids total) est une erreur d'interprétation de la notion de teneur en eau (pas forcément une erreur d'interprétation de l'énoncé !)

Ma position, et je la conserve, s'appuie sur la définition de la teneur en eau, pas sur le raisonnement mathématiques !

Derrière le piège mathématiques, se cache un autre piège !

Mais je ne vais pas me prendre le choux pour un concombre !

Je suis simplement étonnée que des experts n'aient pas pris le soin de considérer le raisonnement sous cet angle ...


Smiley cligne
Si effectivement la teneur en eau est définie comme le rapport entre la masse d'eau et la masse de la phase solide, alors effectivement, tu as raison Véro.

Mais j'ai trouvé sur ce fichier PDF écrit par le Conseil Economique et Social (http://www.unece.org/trade/agr/meetings/ge.02/document.f/2003_15_a07.pdf) qui explicite la méthode normalisée de calcul de la teneur en eau, qui indique textuellement que celle-ci est exprimée sous la forme d'un pourcentage de la masse de l'échantillon. Et d'après la formule qui est donnée, il s'agit bien là de la masse de l'échantillon avant séchage, comprenant donc masse solide et masse liquide...

Et puis, c'est plus parlant. Si on avait un corps composé de 1g de matière solide pour 9g d'eau, la formule de Véro donnerait une teneur de 900%... (9/1)
Oui, bon, moi je retire de toute cette discussion que le concombre ne doivent pas passer la nuit dehors...

D'ailleurs, vous êtes sûr que l'eau à l'intérieur d'un concombre peut s'évaporer en pleine nuit ?
Je vais essayer de formaliser un peu plus le problème.

Notations : On a un concombre de masse M = Ms+Me où Ms est la masse de la matière sèche et Me la masse de l’eau. On appelle p la proportion en eau : p = Me/M ; et on a donc Ms/M = 1-p.

Soit M1 la masse initiale et M2 la masse le lendemain, Ms restant invariant.
Alors on a Ms/M1 = 1-p1 et Ms/M2 = 1-p2 ce qui donne en divisant :M2/M1 = (1-p1)/(1-p2).
Avec l’application numérique du problème (p1 = 0,99 et p2 = 0,98), on trouve bien M2/M1 = ½.

Maintenant, je vais appeler x le taux de diminution de la masse du concombre ; on a alors la relation : M1-x.M1=M2, c’est-à-dire : x = (M1-M2)/M1 = 1-M2/M1 = 1-(1-p1)/(1-p2) = (1-p2-1+p1)/(1-p2) = (p1-p2)/(1-p2).

À partir de là, je vais exprimer p2 en fonction de x et p1.
p1-p2 = x-x.p2
d’où p2 = (p1-x)/(1-x).

Si nous prenons un taux de diminution de x = 1%, on a p2 = (100.p1 - 1)/99 : p1 et p2 sont quasiment identiques, la droite y=x/0,99 - 1/99 étant très proche de y=x sur [0 ; 1]. Ainsi, en reprenant l’énoncé, si on a p1=0,99, nous nous retrouvons avec p2=98/99=0,9898...
En revanche, si on recherche une diminution de 50% par rapport à la masse initiale, la relation entre p1 et p2 devient : p2 = (100.p1 - 50)/50. Soit p2 = 2.p1 - 1.
Pour entretenir l’illusion du problème, il convient de prendre p1 proche de 1, ainsi p2 le sera également, ce qui est bien évidemment le cas ici avec 0,98 = 2×0,99 - 1.

P.-S. : Petit rappel comme ça...
La masse s’exprime en kilogrammes et le poids en newtons.
Modifié par jacques13 (19 Apr 2005 - 16:44)
En fonction des études, la teneur pondérable en eau est donnée par rapport à la matière sèche (etude des sols, par exemple).
La teneur volumique, elle, est donnée par rapport à au volume total.

Pour les aliments : ?
A priori, la teneur en eau est donnée par rapport à la masse totale, effectivement.

Auquel cas, Raphael a raison et je m'incline.

Mais ce qui me semblait impossible, c'est 5 kg de concombre pour 495 kg d'eau. Ma démarche est intuitive au départ et je suis très nulle en mathématiques.

Par curiosité, j'ai tracé la courbe de la masse totale en fonction de la teneur en eau : MT = 1- MS/MT

Si je ne fais pas d'erreur, cette courbe ressemble à une exponentielle qui tend vers l'infini et on remarque, qu'au delà d'un certain pourcentage, la masse augmente de façon très prononcée.

Mais je laisse le soin aux mathématiciens de vérifier cette expérience et de nous la commenter.

Si, en réalité, la teneur en eau de notre concombre est de 96% et que ce dernier pèse 1kg.

Nous avons 40 g de concombre pour 960 g d'eau : la proportion me semble plus cohérente, etonnante, mais plus cohérente.

En conclusion : les secrets de la cohésion de la nature laissent rêveur !

Bravo Raphael, tu nous auras fait cogiter !

Smiley biggrin
Ah, que de questions existentielles... n’est-ce pas Véro ?

Ce n’était pas le but de ce petit problème qui, malgré le fait qu’il s’appuie sur des choses palpables pour la “compréhension” (un concombre par exemple), n’a aucun rapport avec la réalité.
Ça me rappelle le joli conte de Delphine et Marinette de Marcel Aymé où les héroïnes doivent résoudre le problème suivant :
“Les bois de la commune ont une étendue de 16 hectares. Sachant qu'un are est planté de trois chênes, de deux hêtres et d'un bouleau, combien les bois de la commune contiennent-ils d'arbres de chaque espèce ?”
Que firent les héroïnes ? Elles comptèrent les arbres dans les bois de la commune avec l’aide de leurs animaux !

P.-S. : Quant à la courbe, aucune chance qu’elle ressemble à une exponentielle.
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