Malhereusement je ne peut le mettre en ligne pour l'instant...
Mais voici le code:
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<title>Cours de Math 1er Année</title>
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<div class="Gtitre">
Cours de Mathematiques pour l'Informatique
</div>
<div class="exemple" id="showall" onclick="affiche_cache_all('affiche') , document.getElementById(this.id).style.visibility='hidden'" >Afficher tout</div>
<div class="titrepara" id="tp0.1" onclick="affiche_cache('p0.1'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" /> 0.1 - Rappel des Bases</div>
<div class="paragraphe" id="p0.1">
<p>
Addition<br />
Soustraction<br />
Division<br />
Multiplication<br />
Reduction de Fraction<br />
Les puissances<br />
</p>
</div>
<div class="chapitre" id="c1" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)">
1 - La Notion d'Ensemble
</div>
<!-- pour exemple-->
<div class="titrepara" id="tp1.1" onclick="affiche_cache( 'p1.1');" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.1 - Ensemble</div>
<div class="paragraphe" id="p1.1">
<p>Un ensemble est une collection d'objet caracterisé par une proprieté commune. </p>
<div class="exemple">
Exemple: <br />
Les nombres pairs sont un ensembles, où même les nombres entiers en 4 et 32
</div>
<p>Pour pouvoir parler d'un ensemble, il faut le nommer. La plupart du temps, un ensemble quelconque est nommé juste par une lettre, A, B par exemple. </p>
<p>Il existe des ensembles, dont ont se sert de reference, qui portent des noms qui leur sont propres, et sont representé de la sorte:</p>
<ul>
<li>
<img src="img/N.gif" alt="N pour entier Naturel" /> correspond au entiers naturel { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , ... }
</li>
<li>
<img src="img/N.gif" alt="N pour entier Naturel" /><sup>*</sup><span class="bold"><sub>n</sub></span> correspond au entiers naturel { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , ...jusqu'a <span class="bold">n</span> }
</li>
<li>
<img src="img/Z.gif" alt="Z pour entier Relatif" /> correspond au entier relatif { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ... }
</li>
<li>
<img src="img/B.gif" height="15" alt="B pour booléen, binaire" /> binaire, booléen, bit { 0 , 1 }
</li>
<li>
<img src="img/R.gif" alt="R pour nombre réel" /> correspond au nombres réels
</li>
</ul>
<p>Ces ensembles servent souvent de depart à la construction d'autre ensemble. </p>
<div class="exemple">Exemple : E = <img src="img/R.gif" alt="R bizare"/>/2+4</div>
</div>
<div class="titrepara" id="tp1.2" onclick="affiche_cache( 'p1.2');" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.2 - Eléments</div>
<div class="paragraphe" id="p1.2">
<p>
Les objets qui composent un ensembles sont des éléments. Pour un objet x élément de E, on note x ∈ E. ça se dis aussi x appartient à E, ou x est
dans E .L'inverse, x n'est pas un element de E se note x ∉E.
</p>
<p>Un ensemble peut etre un élément d'un ensemble.</p>
<div class="exemple">
<p>
Exemple: <br />A un ensemble. B un ensemble. Si { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
∈ B et si { 4, 5 ,6 , 7 } ∈ A, alors A est un sous ensemble de B
</p>
</div>
<p>
On le note A <img src="img/S-Ens.gif" alt="Sous Ensemble" /> B. On peut dire A est un sous ensemble de B, A est inclu dans B, A est contenu dans B ou même A est une partie de B.
A n'est pas un sous ensemble de B se note A <img src="img/N-S-Ens.gif" alt="Non Sous Ensemble" /> B.
</p>
<p>
Un ensemble vide se note <img src="img/vide.gif" alt="vide" />. Par convention, on dit que chaque ensemble contient Ø.
Ø est "un peu" le zero des ensembles.
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp1.3" onclick="affiche_cache( 'p1.3'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.3 - Les façon de définir un ensemble</div>
<div class="paragraphe" id="p1.3">
<p>1er façon de definir un ensemble: Dire la proprieté de l'ensemble.</p>
<br />
<div class="exemple">Exemple: Tout les entiers naturel paire de 10 à 500</div>
<p>
On dit alors que l'on a defini en compréhension. Il faut faire attention, car des prédicats different peuvent donner la même collection d'objet.
</p>
<p>2em façon : Donner la liste des elements.</p>
<br />
<div class="exemple">Exemple: { 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , .... jusqu'a 500 }</div>
<p>
On ne peut le faire qu'a condition d'avoir un ensemble fini et que l'on connait tout les elements de l'ensemble. L'ordre de notation n'importe pas. { 1 , 2 , 4 , 8 } = { 4 , 8 , 2 , 1}.On dit que l'on a defini en extension.
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp1.4" onclick="affiche_cache( 'p1.4'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.4 - Fonctions et applications</div>
<div class="paragraphe" id="p1.4">
<p>
Une fonction est une loi qui permet de passer "d'associer" un élément x de A à un élément à un <span class="italic">unique</span> y de B. On dit que A est l'
<span class="bolita">ensemble de depart</span>, ou la <span class="bolita">source</span> et que B est l'<span class="bolita">ensemble d'arrivée</span>
, ou le <span class="bolita">but.</span> f : A <img src="img/fleche.gif" alt="fleche" /> B se dit f est une fonction de A vers B par sa table de valeur.
</p>
<div class="exemple" >
<p>
Exemple: <br />
L'action de multiplié par 2 les éléments d'un ensemble A pour former un ensemble B est une fonction.
Mais si l'on dit f : A <img src="img/fleche.gif" alt="fleche" /> B, ça veut dire que l'on ne connait pas forcement la fonction. On dispose juste d'une table de valeur.<br />
<object>
<table>
<tr>
<td>x</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr>
<td>f(x)</td>
<td>0</td>
<td>2</td>
<td>4</td>
<td>6</td>
<td>8</td>
</tr>
</table>
</object>
On arrive à trouver f(2), non pas grace à une fonction, mais tout bêtement en regardant dans le tâbleau.
</p>
</div>
<p>
Pour un fonction f, l'élément y qui est obtenue de x s'appel l'<span class="bold">image</span> de <span class="italic">x</span> et on le note f(x). Par convention, si
<span class="italic">A</span> est un ensemble vide, l'image de f est vide, on peut donc ecrie: f [decu]<img src="img/vide.gif" alt="vide" />)=
<img src="img/vide.gif" alt="vide" />. On note aussi, pour dire qu'un ensemble <span class="italic">B</span> est l'ensemble des images de
<span class="italic">x</span> élément de <span class="italic">A</span> par la fonction <span class="italic">f : </span> f(B).
La difference entre un fonction et une application est qu'une fonction ne peut avoir qu'un resultat. Pour un ensemble A et un ensemble B, on a f : A <img src="img/fleche.gif" alt="fleche" />
B, si pour f(x) on a deux solutions, alors ce n'est pas une fonction mais une application.
</p>
<div class="exemple">
<p>
Exemple: <br />
Tout les auditeurs du CNAM ont une date d'anniversaire, sur 500 auditeurs, il y en a forcement qui ont la même date d'anniversaire. L'association entre la date
d'anniversaire et l'auditeur n'est donc pas une une fonction, mais plutot une application. Par contre, chaque auditeur à un numero de carte CNAM, on peut donc associer un numéro de carte à un auditeur.
L'association numero de carte et auditeur est bien une fonction.
</p>
</div>
<p>On dit aussi de B est l'image de A par <span class="italic">f</span>. </p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp1.5" onclick="affiche_cache( 'p1.5'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.5 - Diverse proprieté des applications</div>
<div class="paragraphe" id="p1.5">
<p>
Une application d'un ensemble A vers un ensemble B qui ne donne jamais deux fois la même valeur est une <span class="bold">injection</span>. Pour etre plus precis,
<span class="italic">f</span> est injective si <span class="italic">f</span>(x) = <span class="italic">f</span>(y) seulement si x=y. On peut aussi dire que
<span class="italic">f</span> est injective quand pour <span class="italic">f</span> il y à 0 ou 1 solution, mais jamais plus.
</p>
<div class="exemple">Exemple: L'association des numeros de permis de conduire à des personne est une injection car ça ne donne qu'une reponse, mais certaine personne n'ont pas le permis.</div>
<p>
Une application <span class="italic">f</span> d'un ensemble A vers un ensemble B qui donne tout les ensemble de B est une <span class="bold">surjection</span>.
On peut dire que si <span class="italic">f</span>(x) donne une ou plusieur solution alors c'est une <span class="italic">surjection</span>.
</p>
<div class="exemple">Exemple: L'association des dates de naissance à des personnes est une surjection, car tout le monde à une date de naissance, mais plusieur personne ont la même date de naiscance.</div>
<p>
Si une fonction est surjective et injective, c'est une <span class="bold">bijection</span>. Pour <span class="italic">f</span>(x), il n'y qu'une reponse. Et si x=y, alors
<span class="italic">f</span>(x)=<span class="italic">f</span>(y).
</p>
<div class="exemple">
Exemple : L'association du numero de carte des auditeurs du CNAM à un auditeur est une bijection, car il n'y qu'un auditeur par carte, reciproquement qu'un auditeur par numero de carte.
</div>
<p>
L'application <span class="italic">f</span> <img src="img/_1.gif" alt="puissance -1" /> est <span class="bolita">l'inverse</span> de
<span class="italic">f</span>. Si <span class="italic">f</span>(a) donne b, alors
<span class="italic">f</span> <img src="img/_1.gif" alt="puissance -1" />(b) donne a.
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp1.6" onclick="affiche_cache( 'p1.6'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />1.6 - Composition</div>
<div class="paragraphe" id="p1.6">
<img src="img/shema-rond.gif" alt="Application successif de fonction" height="350" />
<p>
Le dessin ci dessus se note : <span class="italic">g</span><img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span>, qui se lit g rond f ou encore f(f(a)).
<span class="italic">g</span><img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span> veut dire , j'applique <span class="italic">f à a</span>
puis j'applique au resultat <span class="italic">g</span>. Bien entendu, l'ordre à un sens, et il est trompeur.
<span class="italic">g</span><img src="img/rond.gif" alt="rond" />
<span class="italic">f</span> indique de j'applique d'abord <span class="italic">f</span> puis ensuite <span class="italic">g</span> et non pas l'inverse .
</p>
<p>
si <span class="italic">f</span> et <span class="italic">g</span> sont injective, <span class="italic">g</span>
<img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span> est injective.
</p>
<p>
si <span class="italic">f</span> et <span class="italic">g</span> sont surjective, <span class="italic">g</span>
<img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span> est surjective.
</p>
<p>
si <span class="italic">f</span> et <span class="italic">g</span> sont bijective, <span class="italic">g</span>
<img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span> est bijective. Mais en plus <span class="italic">g</span>
<img src="img/_1.gif" alt="puissance -1" /><img src="img/rond.gif" alt="rond" /><span class="italic">f</span>
<img src="img/_1.gif" alt="puissance -1" /> est son <span class="bolita">application réciproque</span>.
</p>
</div>
<div class="chapitre" id="c2" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)">
2 - Construction d'ensemble
</div>
<div class="titrepara" id="tp2.1" onclick="affiche_cache( 'p2.1'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />2.1 Produit d'Ensemble</div>
<div class="paragraphe" id="p2.1">
<p>
Generalement, pour construire un ensemble, nous partons d'ensembles.
</p>
<div class="exemple">Les éléves du cnam representent un ensemble. Les éléves de sexe feminin en représente un aussi, et il construit à partir de l'ensemble "éléve du cnam" .</div>
<p>
Prenons un ensemble A et un ensemble B.<br />
A = { Z , T } et B = { 1 , 2 , 3 }. <br /><br />
Combien de "couple" sont possible ?<br /><br />
<span class="bold">A x B</span><br /><br />
( Z ,1 ) ( Z ,2 ) ( Z ,3 )<br />
( T ,1 ) ( T ,2 ) ( T ,3 )<br /><br />
A partir de A et B, j'ai un nouvelle ensemble formé des 6 éléments, ou couples obtenue ci dessus.
Comment le définir ?<br /><br />
C'est l'action de prendre tout les couples. On note ça A x B parce que le nombre de couple est égale au nombre d'élément des A par le nombre d'élément de B. <br />
Il y a les couples, mais il y a aussi des triplet, des quadruplet, des quintuplet, ou quand on à n Ensemple, des n-uple.<br /><br />
A x B x C<br />
( a ,b, c )<br />
A x B x C x D<br />
( a ,b, c, d )<br />
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp2.2" onclick="affiche_cache( 'p2.2'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />2.2 Produit d'une Famille d'Ensemble</div>
<div class="paragraphe" id="p2.2">
<img src="img/FamEnse.gif" alt="Produit de Famille d'ensemble" height="16" /><br />
</div>
<div class="titrepara" id="tp2.3" onclick="affiche_cache( 'p2.3'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />2.3 Puissance d'un Ensemble</div>
<div class="paragraphe" id="p2.3">
<p>
Quand les ensembles E1, E2, ...E<span class="bolita">n</span> sont egaux, aux lieu de noter E1xE2xE<span class="bolita">n</span> leur produit. On le notera E<sup>n</sup>.
</p>
<div class="exemple">
Exemple:<br />
A<sup>2</sup> donnerat des éléments { a , a }, etc...<br />
A<sup>3</sup> donnera des éléments { a , a , a }, etc...
</div>
<p>
L'ensemble <img src="img/B.gif" height="15" alt="B pour booléen, binaire" /> permet de faire des mots binaire. Pour faire des mots binaires de longueur 2, on utilisera l'ensemble
<img src="img/B.gif" height="15" alt="B pour booléen, binaire" /> à la puissance 2. <br />
<img src="img/B.gif" height="15" alt="B pour booléen, binaire" /><sup>2</sup> = { 0, 0 } , { 0, 1 } , { 1, 0 } , { 1, 1 }. <br />
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp2.4" onclick="affiche_cache( 'p2.4'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />2.4 Union, Intersection</div>
<div class="paragraphe" id="p2.4">
<p>
L'union d'un ensemble A et d'un ensemble B est un peu l'addition de ces deux ensembles. On le note A ∪ B. Quand je fais l'union de deux ensembles, j'ajoute au premier tout les éléments du second ensemble qui n'y etait déja.
</p>
<div class="exemple">
<p>
Consideront A={1 , 5 , 8} et B={ 2 , 5 , 10 }.<br />
A <img src="img/U.gif" alt="Union" /> B = { 1 , 2 , 5 , 8 , 10 }
</p>
</div>
<p>
A∪A = A. Il n'y a pas délément de A qui ne sont pas déja dans A, donc ∪ A est égale à A.<br />
A∪<img src="img/vide.gif" alt="Vide" /> = A.
</p>
<p>
L'intersection de deux ensembles est le l'operation de ne garder que les éléments présent dans les deux ensembles. On l'ecrit A∩B et on le lit A "inter" B.
</p>
<div class="exemple">
<p>
Consideront A={1 , 5 , 8} et B={ 2 , 5 , 10 }.<br />
A∩B = { 5 } car seul <span class="bold">5</span> est présent dans les deux ensemble.
</p>
</div>
<p>
<img src="img/disjoint.gif" alt="Disjoint" height="290" /><br />
Les ensembles ci dessus sont disjoint car aucun des éléments de A n'est dans B. Dans ce cas A∩B=<img src="img/vide.gif" alt="Vide" />.<br /><br />
<img src="img/joint.gif" alt="Joint" height="290" /><br />
Les ensembles ci dessus sont joint, car certain des éléments de A sont dans B, et vice versa. Dans ce cas A∩B≠<img src="img/vide.gif" alt="Vide" />.<br /><br />
</p>
</div>
<div class="chapitre" id="c3" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)">
3 - Cardinal d'un ensemble
</div>
<div class="titrepara" id="tp3.1" onclick="affiche_cache( 'p3.1'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />3.1 Ensemble Fini</div>
<div class="paragraphe" id="p3.1">
<p>Un ensemble fini est un ensemble contenant un nombre fini d'élément, c'est à dire que l'on peut compter. E<sub>n</sub> éléments si il y a une bijection entre E et <img src="img/N.gif" alt="N pour entier Naturel" />
<sup>*</sup><sub>n</sub>. |A| se lit <span class="bolita">nombre d'éléments</span> de A.</p>
<p>
On dit que A et B ont la même puissance si |A| et |B| ont le même nombre d'élément. Il existe certaine proprieté a propos du nombre d'élément.
</p>
<p>
Si |A| ≤ |B|, alors il y a une injection de A dans B. <br />
Si |A| ≥ |B|, alors il y a une surjection de A dans B. <br />
Si |A| = |B| , il existe une bijection de A dans B.
</p>
<p>
De ces propriété en decoule une autre: <br />
Si A et B sont des ensembles ayant le même nombres d'élément et que l'on a une application f : A <img src="img/fleche.gif" alt="fleche" /> B, alors <br />
Si f est injective, elle est forcement surjective, et du coup bijective.<br />
Si f est surjective, elle est forcement injective, et biensur, on s'en doute maintenant, bijective.
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp3.2" onclick="affiche_cache( 'p3.2'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />3.2 Ensemble Dénombrable</div>
<div class="paragraphe" id="p3.2">
<p>à completer</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp3.3" onclick="affiche_cache( 'p3.3'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />3.3 Cardinaux</div>
<div class="paragraphe" id="p3.3">
</div>
<div class="chapitre" id="c4" onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)">
4 - Analyse Combinatoire
</div>
<div class="titrepara" id="tp4.1" onclick="affiche_cache( 'p4.1' ); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />4.1 Principe de choix successifs</div>
<div class="paragraphe" id="p4.1">
<p>Pour un ensemble E, il y a p possibilité de sous-ensemble.
<object>
<ul>
<li>
1<sup>er</sup> Choix, p<sub>1</sub> possibilité.
</li>
<li>
2<sup>em</sup> Choix, p<sub>2</sub> possibilité.
</li>
<li>
n<sup>em</sup> Choix, p<sub>n</sub> possibilité.
</li>
</ul>
</object>
</p>
<div class="exemple"><p>
Exemple:<br />
Dans un restaurant, on a le choix entre 3 entrées, 4 plats, 2 desserts. Combien de choix de repas à t'on...?<br />
3 X 4 X 2 = 24<br />
On peut donc manger 24 fois dans le restaurant sans manger exactement le même repas.
</p></div>
<p>
Pour calculer des choix successif on multiplie le nombre d'élément de chaque ensemble.<br />
|E<sub>1</sub> X E<sub>2</sub> X E<sub>3</sub> X E<sub>n</sub>| = |E<sub>1</sub>| X |E<sub>2</sub>| X |E<sub>3</sub>| X |E<sub>n</sub>| <br />
On peut le representer par un <span class="italic">arbre</span> ou chaque choix est une branche de l'arbre. Pour E={ a , b , c }, on a 27 choix successif possible ( 3 x 3 x 3).<br />
<img src="img/choix-successif.gif" alt="choix successif" height="550" />
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp4.2" onclick="affiche_cache( 'p4.2'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />4.2 Arrangement</div>
<div class="paragraphe" id="p4.2">
<p>
Imaginons que nous avons un sac avec des boules numeroté de 1 à 30 à l'interieur. Nous tirons successivement 5 boules. C'est un choix successif, mais une fois une boule
tirée du sac, il est impossible de la retirer à nouveau. A la premiere boule que nous tirons, nous avons 30 choix possible, mais à la deuxieme, 29 seulement, puisque nous en avons retiré une déja, puis 28 choix pour le troisieme tirage, ensuite 27, puis seulement 26 choix pour le cinquieme tirage. Ce que l'on vient de faire est un arrangement.
</p>
<p>
On note <img src="img/arrangement.gif" alt="Arrangement" height="17" /> un arrangement à <span class="italic">p</span> possibilité dans un ensemble à <span class="italic">n</span> éléments. On le lit A n p.
</p>
<div class="exemple">
<p>
Exemple:<br />
Un arrangement de 5 éléments sur un ensembles à 30 éléments se note:
A<sup>5</sup><sub>30</sub>
</p>
</div>
<p>
Pour calculé <img src="img/arrangement.gif" alt="Arrangement" height="17" />, la formule est:<br />
<img src="img/arrangement.gif" alt="Arrangement" height="17" />=n(n-1)(n-2)....(n-p+1).
</p>
<div class="exemple">
<p>
Exemple:<br />
A<sup>5</sup><sub>30</sub> se calculera:<br />
A<sup>5</sup><sub>30</sub>:30 x (30 -1) x (30 - 2) x (30 - 3) x (30 - 5 + 1) = 30 x 29 x 28 x 27 x 26 = 17 100 720.
</p>
</div>
<p>
En fait, on peut simplifier
</p>
</div>
<div class="titrepara" id="tp4.3" onclick="affiche_cache( 'p4.3'); " onmouseover="upcolor(this.id)" onmouseout="downcolor(this.id)"><img src="img/plus.gif" alt="Clickez pour voir" height="16" />4.3 Permutations</div>
<div class="paragraphe" id="p4.3">
</div>
</body>
</html>
Tu pense que le fait de mettre des ids avec des points peut etre la cause du souci...?
Je change ça demain, merci en tout cas de ta reponse.
