En gros :
- on reste sur la même page (suppression de formulaire.php dans l'attribut action du form
- on met le code php qui traite le formulaire en début de page et on fait en sorte qu'il ne soit exécuté que quand le formulaire est soumis (if isset($_POST['envoi'])))
- on remplace les echo par des variables, ce qui permet d'afficher le contenu quand on veut dans la page
- si la variable $alerte existe (donc si le formulaire a été soumis), on l'affiche.
<?php 
if (isset($_POST['envoi']))
{
//Déclaration du destinataire, objet
$destinataire="grosbenji@yahoo.fr";
$sujet="Réservation en ligne"; 
 
//récupération des variables
$civilite = htmlspecialchars ($_POST['civilite']);
$nom = htmlspecialchars ($_POST['nom']); 
$societe = htmlspecialchars ($_POST['societe']);
$prenom = htmlspecialchars ($_POST['prenom']); 
$email = htmlspecialchars ($_POST['email']); 
$telephone = htmlspecialchars ($_POST['telephone']);
$trajet = htmlspecialchars ($_POST['trajet']);
$datealler = htmlspecialchars ($_POST['datealler']);
$heurealler = htmlspecialchars ($_POST['heurealler']);
$dateretour = htmlspecialchars ($_POST['dateretour']);
$heureretour = htmlspecialchars ($_POST['heureretour']);
$passagers = htmlspecialchars ($_POST['passagers']);
$enfants = htmlspecialchars ($_POST['enfants']);
$pmr = htmlspecialchars ($_POST['pmr']);
$animaux = htmlspecialchars ($_POST['animaux']);
$transportprofessionnel = htmlspecialchars ($_POST['transportprofessionnel']);
$paiement = htmlspecialchars ($_POST['paiement']);
$commentaires = htmlspecialchars ($_POST['commentaires']);
//Déclaration du mail en format texte 
$body	.= "Client : ".$civilite." ".$nom." ".$prenom."\n\n";
$body	.= "Société : ".$societe."\n";  
$body	.= "Telephone : ".$telephone."\n"; 
$body	.= "E-mail : ".$email."\n\n";
$body	.= "Trajet : ".$trajet."\n\n";
$body	.= "Date aller : ".$datealler."\n";
$body	.= "Heure aller : ".$heurealler."\n\n";
$body	.= "Date retour : ".$dateretour."\n";
$body	.= "Heure retour : ".$heureretour."\n\n";
$body	.= "Nombre de passagers : ".$passagers."\n\n";
$body	.= "Enfants : ".$enfants."\n";
$body	.= "PMR : ".$pmr."\n";
$body	.= "Animaux : ".$animaux."\n";
$body	.= "Transport pro : ".$transportprofessionnel."\n\n";
$body	.= "Mode de paiement : ".$paiement."\n\n";
$body	.= "Commentaires : ".$commentaires."\n"; 
//Envoie du mail 
    if(@mail($destinataire,$sujet,$body)) { 
         $alerte =  'Votre réservation a bien été prise en compte.<br/>
				Nous vous contacterons dans les plus brefs délais afin d\'organiser au mieux votre voyage.<br/>
				Merci de votre confiance.<br/>
				L\'équipe Panda!<br/><br/>
				<a href="reservation.html">Retour à la page d\'accueil</a>';  
    } else { 
       $alerte = 'Echec de envoi.<br/>Veuillez<a href="reservation.html">Réessayer</a>'; 
    } 
?>
<?php if (isset($alerte)) { echo $alerte; } ?>
<form name="form" id="contact" method="post" action="">
blablabla				
</form>